تعامل بازارکالاها نیازمند مساوی بودن عرضه و تقاضای کالاست و یا به طور معادل، سرمایه‌گذاری معادل پس‌انداز است:
(۲-۳۲)
طرف چپ معادله (۲-۳۲)، سرمایه‌گذاری خالص و طرف راست آن معادل پس‌انداز است. با حذف از دو طرف معادله، رابطه بیان می‌کند سرمایه در زمان ، برابر با پس‌انداز جوانان در زمان می‌باشد. یعنی:
(۲-۳۳)
الگوی دیاموند به طور ضمنی بیان می‌کند، که اگر نرخ رشد جمعیت افزایش یابد، سرمایه سرانه کاهش می‌یابد. اما اثر افزایش نرخ رشد جمعیت بر پس‌انداز مشخص نیست، زیرا نرخ بهره زیاد و دستمزدها کم می‌شود ( پس‌انداز تابع افزایشی از دستمزدها و نرخ بهره است). اما از طرفی با افزایش نرخ رشد جمعیت، جوانان بیشتر می‌شوند و سطح تولید نیز زیاد می‌شود و همین موجب افزایش سطح پس‌انداز کل جامعه می‌شود، ولی مشخص نیست که پس‌انداز سرانه چه تغییری می‌کند.

۲-۵-۲-۴) الگوی بلانچارد: جوانی دائمی

در الگوی بلانچارد، افراد افق نامحدودی برای زندگی ندارند. اما تمام افراد، صرف نظر از سن، دارای امید به زندگی یکسان هستند. به عبارت دیگر، تمام افراد دارای احتمال مرگ‌ومیر یکسان هستند. الگوی بلانچارد یک الگوی زمان پیوسته است و به‌طور ضمنی در مورد رابطه رشد جمعیت و رشد اقتصادی تنها بیان می‌کند که با افزایش میانگین سنی جمعیت، طرف تقاضای اقتصاد با کاهش مصرف تغییر می‌یابد و به تبع آن در تعادل هم‌چنین درآمد سرانه کاهش می‌یابد(بلانچارد و فیشر، ۱۹۸۹).

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

همان‌طور که ذکر شد در این الگو، هر فرد در هر لحظه از زمان احتمال معینی برای مرگ دارد. هم‌چنین فرض می‌شود که احتمال مرگ در هر واحد زمان که با نشان داده می‌شود، ثابت است. به طور اخص این موضوع دلالت بر آن دارد که طول عمر انتظاری فرد پیر به همان اندازه فرد جوان است. و چون الگو با زمان پیوسته است، احتمال آنی می‌تواند هر مقداری بین صفر و بی‌نهایت باشد. فرض احتمال ثابت معادل آن است که بیان شود متغیر تصادفی زمان تا مرگ یک توزیع نمایی دارد. اگر نشان دهنده این متغیر و تابع چگالی آن به صورت زیر باشد:
(۲-۳۴)
مقدار انتظاری آن به صورت زیر به دست خواهد آمد:

(۲-۳۵)
را می‌توان شاخصی برای افق موثر افراد در الگو دانست. با کاهش احتمال مرگ، شاخص افق موثر افزایش می‌یابد. در حالت حدی که به طرف صفر میل می‌کند، الگو بی‌نهایت می‌شود و به الگوی رمزی تبدیل می‌شود.
در هر لحظه از زمان گروهی جدید، مرکب از مردمی با احتمال مرگ ، متولد می‌شوند. هر گروه به اندازه کافی بزرگ است به طوری‌که در عین حال نرخ کاهش انازه گروه در طول زمان می‌باشد. بنابراین گرچه هر فردی در مورد زمان مرگ خودش اطمینان ندارد ولی اندازه گروه با قطعیت در طول زمان کوچک می‌شود. یک راه نرمال کردن برای تسهیل موضوع این است که اندازه گروه جدید نیز برابر باشد. بنابراین اندازه گروهی که در زمان متولد شده است، در زمان است. در نتیجه اندازه کل جمعیت در زمان به صورت زیر خواهد بود:
(۲-۳۶)
اما آن‌چه در این قسمت حائز اهمیت است پیشبرد این الگو از جنبه رابطه رشد جمعیت و رشد اقتصادی توسط بکر و برو^[۴۴] (۱۹۸۸) می‌باشد.

۲-۵-۲-۵) انتخاب نرخ موالید در الگوی نسل‌های هم‌پوشان زمان پیوسته

در الگوی زمان پیوسته نسل‌های هم‌پوشان با نرخ موالید و مرگ‌ومیر به صورت زمان پیوسته برخورد می‌شود. فرض که نرخ موالید خانوار و نرخ مرگ‌ومیر باشد. هم‌چنین مانند الگوی بلانچارد ثابت در نظر گرفته می‌شود که به سن خانوار بستگی ندارد. اندازه خانوار به طور متوسط در حال تغییر است که این تغییر به صورت زیر است:
(۲-۳۷)
متغیر حالت است که بیان‌گر اندازه خانوار است و نشان‌دهنده تغییر اندازه خانوار در طول زمان است. تابع مطلوبیت خانوار در مدل زمان پیوسته بکر و برو به صورت زیر تعریف شده است:
(۲-۳۸)
که بیان‌گر تابع نوع‌دوستی(Altruism) ، در این الگو است، و مولفه مطلوبیت از داشتن فرزند است که بیان‌گر مطلوبیت نهایی تمایل به داشتن یک فرزند بیشتر است.

۲-۵-۲-۵-۱) هزینه پرورش فرزند

فرض که تولد و پرورش هر فرزند، هزینه‌ای معادل دارد. چون تولدها در واحد زمان است، بنابراین کل مخارج روی پرورش فرزندان است و هزینه سرانه پرورش هر فرزند است.
حال مساله اساسی، بررسی رابطه با دیگر متغیرهای الگو می‌باشد. اگر در نظر گرفته شود هزینه پرورش هر فرزند برابر با خرید از بازار کالاها و خدمات است، آن‌گاه اگر درآمد سرانه رشد کند هزینه پرورش فرزند کاهش می‌یابد. بنابراین به طور نظری در این الگو با افزایش رشد اقتصادی و توسعه اقتصاد، نرخ موالید زیاد می‌شود۰ هم‌چنین پرورش هر فرزند هزینه فرصتی با خود به همراه دارد. اگر هزینه سرانه پرورش فرزند در نظر گرفته شود تابع، افزایشی از سرمایه سرانه اقتصاد خواهد بود. یعنی با سرمایه‌بر شدن اقتصاد، هزینه پرورش فرزند افزایش می‌یابد. بنابراین می‌توان گفت:
(۲-۳۹)

۲-۵-۲-۵-۲) محدودیت‌های بودجه

فرض می‌شود هر خانوار دستمزدی معادل دریافت می‌کند و در مقابل اجاره دارایی‌هایش، نرخ بهره را دریافت می‌کند. اگر و سرمایه سرانه و مصرف سرانه باشند، آن‌گاه قید بودجه با تغییرات سرمایه خانوار در طول زمان به صورت زیر خواهد بود:
(۲-۴۰)

۲-۵-۲-۵-۳) شرایط حداکثر سازی

مساله حداکثر سازی مطلوبیت، انتخاب مسیر متغیر کنترل و برای حداکثر کردن مطلوبیت است. این مساله حداکثر سازی شامل شرایظ اولیه و معادله‌های انتقال (۲-۳۴) و (۲-۳۷) و نابرابری‌های و است.
اکنون می‌توان تابع همیلتونی را به شرح زیر به کار برد:
(۲-۳۸)
به طوری که و دو قیمت سایه‌ای برای متغیرهای حالت و می‌باشند.
شرایط می‌تواند با هم ادغام شود تا راهی برای شرح نرخ رشد مصرف را بدهد. به طوری که به رابطه زیر برسیم:
(۲-۴۱)
در حالت ساده، تابع مطلوبیت لگاریتمی که است، این عبارت برابر است با:
(۲-۴۲)
یعنی نرخ رشد جمعیت به ترجیحات زمانی خانوار نوع دوست می‌افزاید. حال با ابتکار بکر، اگر متغیر جدیدی تحت عنوان به صورت زیر تعریف شود:
(۲-۴۳)
آن‌گاه می‌توان با اعمال شرایط به رابطه زیر رسید:
(۲-۴۴)
اگر از نسبت به زمان مشتق گرفته شود و شرط برای به دست آوردن استفاده شود، آن‌گاه:
(۲-۴۵)
باشد، معادله دیفرانسیل (۲-۴۵) به صورت زیر می‌شود: اگر
(۲-۴۶)
آن‌گاه رفتار حداکثر کننده مطلوبیت شرط می‌کند که باشد. بنابراین رابطه نرخ رشد جمعیت باید شرایط زیر را برقرار سازد:

(۲-۴۷)
متغیر ، نرخ اثر درآمدی برای تقاضای فرزند را نشان می‌دهد که بیان‌گر هزینه پرورش فرزند است. و با طبق رابطه (۲-۳۹)، رابطه خطی دارد و رابطه (۲-۴۷) بیان‌گر آن است که نرخ رشد جمعیت و در یک راستا حرکت می‌کند. به بیان دیگر، در صورت توسعه اقتصادی خانوار نوع‌دوست، نرخ رشد جمعیت زیاد می‌شودو باز توزیع این اثر روی رشد تولید مثبت است.

۲-۵-۳) جدیدترین نسل مدل‌های رشد اقتصادی

در طول ۵۰ سال اخیر، مطالعات زیادی روی مباحث رشد اقتصادی صورت گرفته است. آن چه محققان به دنبال آن بوده_‌اند، شناخت علل رشد اقتصادی و تبیین موتور محرکه برای آن، در کشورهای مختلف است. در طول دهه ۱۹۸۰ و ۱۹۹۰، مساله اثر مقیاس و اندازه جمعیت بر رشد اقتصادی، مورد توجه مجدد نظریه پردازان رشد اقتصادی قرار گرفت که این توجه، نتیجه مستقیمی از فرمول بندی مدل‌های رشد شومپیتری بود؛ مدل هایی که در آن‌ها، رشد اقتصادی از فعالیت‌های R&D سرچشمه می‌گیرند. در مدل‌های مذکور، ارتباط بین مقیاس و رشد اقتصادی، به طور صریح و دقیق بیان شده است (دینوپولوس، تامپسون^[۴۵]، ۱۹۹۹).
از آن جا که تحقیقات اخیر همگی به این نکته پی برده‌اند که دانش فنی، به عنوان مزیت نسبی اقتصادها، از انسان و نیروی انسانی نشات می‌گیرید، تحقیقات علاوه بر تاثیر مهارت و آموزش او در رشد اقتصادی، اکنون رویکردی نوین پیدا کرده‌اند. این رویکرد، بررسی و همچنین تاکید بر نقش رشد و اندازه جمعیت بر رشد اقتصادی است. در این فضا، نظریه‌های رشد اندیشه محور معرفی گشته‌اند.