جدول (۳-۱۱) ضرایب ویلسون بر حسب برای ۵۷

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

جدول (۳-۱۲) ضرایب در پارامتری سازی خطی که ضرایب ویلسون و بر حسب مقیاس برای . ۵۸

جدول (۴-۱) مرتبه پارامتر های CKM مربوط به واپاشی های مختلف به صورت توانی از پارامتر ولفشتاین در مورد بیان می شود که نقص CP است فقط در بخش موهومی شرکت می کند. ۶۶

جدول (۴-۲) توابع و برای و مختلف . ۶۹

جدول (۴-۳) تابع برای و مختلف . ۷۱

جدول (۵-۱) ۹۰

بر هم کنش های ضعیف

ذرات و برهم کنش ها

دراین فصل مدل کوارکها و لپتونها که براساس پیمانه گروه

به به طور خودبخودی شکسته میشود، را مورد مطالعه قرارگرفته است. ‎ و ‎ ‎نماد فوق بار ضعیف و مولد های بارالکتریکی است و درجایگاه که با جزئیات بیشتر در بخش بعدی مورد بحث قرار خواهد گرفت.

ویژگی های خاصی از بخش الکترو ضعیف مدل استاندارد که برای ملاحظات مهم خواهد بود را یاداوری کنیم.

لپتونها و کوارکهای چپگرد در دوتایی هستند، بصورت زیر:

با تبدیل میدانهای راستگرد متناظر به عنوان یکتایی در . بارهای الکترو ضعیف ‎Y , Q‎ و مولفه سوم ایزو اسپین ضعیف در جدول۱-۱ ارائه شده اند.

بارهای الکتروضعیف Y و Q و مولفه سوم ایزو اسپین ضعیف برای کوارکها ولپتونها در مدل استاندارد

بر همکنش الکترو ضعیف از وارکها و لپتونها با واسطه پیمانه ضعیف جرمدار بوزونهای و

وفوتون ‎A‎ وجود دارد که با لاگرانژین زیر خلاصه می شود:

که در آن

که بر همکنش جریان بار را توصیف می کند و

برهمکنش جریان خنثی را توصیف می کند که ‎e‎ ثابت جفت شدگی ‎QED‎ و ثابت جفت شدگی و زاویه وین برگ است‎.‎

جریانها به شرح زیر ارائه می شوند:

که و بترتیب معرف بار و مولفه سوم ایزو اسپین ضعیف فرمیون چپ گرد است. در واپاشی ضعیف ثابت فرمی نقش مهمی بازی می کند که دارای مقادیر زیر است:

سایر مقادیر پارامترهای وابسته در پیوست ‎A‎ جمع آوری خواهد شد برهم کنش های میان بوزونهای پیمانه ای استاندارد هستند و در هر کتاب درسی تئوری پیمانه ای یافت می شوند‎. پریم در (۲-۱) نشان میدهد که ویژه حالت ضعیف معادل با ویژه حالت جرم متناظر با ‎ ‎ نیست اما ترکیب خطی از طریق رابطه زیر از دومی بیان شده است.

‎

که در آنها ماتریس واحد اتصال دهنده و مرتبط کننده دو مجموعه از حالات ماتریس کوبیبو-کوبایاشی-مسکاوا ‎(CKM)‎ است. بسیاری از پارامترهای این ماتریس در متون پیشنهاد شده اند. دراین بررسی دوگونه پارامتری کردن را بکار می بریم . پارامتری کردن استاندارد توصیه شده توسط گروه داده های ذرات و پارامتری کردن ولف ان اشتاین

پارامتری کردن استاندارد

نمادگذاری زیر را در نظر می گیریم:

و با پس پارامتری کردن استاندارد به شرح زیر است:

که در آن فاز لازم برای نقض ‎CP ‎است و می توانند مثبت انتخاب شوند و ممکن است در محدوده متفاوت باشد با این حال اندازه گیری نقض ‎CP‎ در واپاشی نیروری ‎K‎، قرار گرفتن در محدوده را موجب می شود. پدیدار شناسی گسترده سالهای اخیرنشان می دهد که و ،

اعداد کوچک به ترتیب در مرتبه و هستند در نتیجه به دقت عالی
و چهار پارامتر مستقل به شرح زیر است :

با فاز استخراج شده از انتقال نقض ‎CP‎ با فرایندهای حساس به . مورد بعدی بر اساس مشاهدات مبتنی برای استوار است همچانکه به تجزیه و تحلیل نقض ‎CP‎ تناظر یک به یکی بیین و به شکل زیر وجود دارد

مثلث یکانی مرتبه اول

یکی از کاربردی ترین روابطی که شرط یکانی ماتریس برای ‎CKM‎ را فراهم می کند عبارتست از:

در سطوح مختلف رابطه )۱-۱۶) میتواند بعنوان مثلث یکانی^[۱] (UT)‎ نامیده میشود، مطرح است. شناخت این مثلث جالب است چنانچه در حال حاضر ورود همزمان عناصر ‎ بحث گسترده ایی دارد در تجزیه و تحلیل معمول ‎UT‎ فقط ترم در (۱-۱۶) نگه داشته می شود اما با اینحال مستقیما” ترم عمده به حساب می آوریم‎.‎ نخست ذکر می کنیم که:

پس مقدار دقیق اندازه که برابر با مقدار حقیقی است، موجود می باشد.تصحیح را نگه می داریم و همه ترم های (۱-۱۶) را با جایگزین می کنیم، داریم:

که

بنابراین شکل ۱را می توان بعنوان مثلث یکانی در صفحه مختلط نمایش داد . طول ‎CB‎ که بر محور حقیقی واقع است وقتی معادله با جایگزین شود معادل یک واحد است. مشاهده می شود که فراتر از مرتبه عمده در نقطه ‎A‎ با مرتبط نیست اما

با بوضوح در حدود دقت مرتبط است. داریم : . اما در آینده دور دقت و صحت نتایج تجربی و محاسبات نظری ممکن بهبود قابل ملاحظه ای یابد بنابر این بیشتر فرمول سازی ارائه شده در اینجا مناسب خواهد بود.

مثلث یکانی در صفحه مختلط

با بهره گرفتن از مثلثات ساده می توان که را برحسب حساب کرد، داریم:

طول ‎CA‎ و ‎BA‎ در مقیاس کوچکتر در مثلث شکل ‎۱‎ بترتیب با و نماد کذاری میشوند که عبارتند از:

عبارات ‎ و با تقریب خوبی بر حسب ارائه شده که بوضوح می تواند توسط دو زاویه تعیینگردد، داریم:

باز بهنجارش QCD

آنچنان که تا کنون در پیشگفتار اشاره شد، ‎QCD‎ نقش مهمی در پدیده شناسی واپاشی ضعیف هادرونها بازی می کند در واقع در تجزیه و تحلیل این واپاشی بررسی اصلاحات ‎QCD‎ مشکل ترین و گسترده ترین بخش است. در این بخش باید به طور خلاصه ویژگیهای اساسی اختلال ‎QCD‎ وبازبهنجارش آن ذکر شود در نتیجه بر جنبه هایی که برای بررسی اختلال ‎QCD‎ و باز بهنجارش نیاز خواهد بود، تمرکز می کنیم. همچنین فرصت ارائه مرجعی برای عبارات کارکرد جفت شدگی کارکرد جرم و متناسب با گروه توابع بازبهنجار فراهم خواهد شد. چگالی لاگرانژین ‎QCD‎ به شکل زیر است:

اینجا رنگهای سه گانه طعم کوارک است. ‎g‎ جفت شدگی ‎QCD‎ است.

میدان گلوئون و میدان مجازی یا شبح میدان است. پارامتر پیمانه است و مولدهای

که ثابت ساختار می باشند. به واسطه این لاگرانژین ممکن است به دفعات قوانین فاینمن برای ‎QCD‎ ، برای مثال ‎ را که برای راس کوارک و گلوئون است را باز خوانی کند به منظور مقابله با واگرایی که در کوانتم(حلقه) اصلاحات و تصحیحات توابع گرین ظاهر می شود تئوری به پارامتری کردن صریح و روشن از نقاط تکین منظم و متعاقبا باز بهنجار به منظور ارائه دادن توابع گرین متناهی باید بپردازد به منظور نیل به این هدف موارد زیر انجام میشود :

‎ تنظیم ابعادی با حرکت مداوم بسوی ابعاد فضا زمان

تفریق از واگرایی در طرح حداقل تفریق ‎MS‎ برای از بین بردن واگرایی باید میدانها وپارامترها در لاگرانژین رابه طور کلی از طریق زیر باز به هنجار نمود.

اندیس ‎‎”۰”‎ مقدار غیر نرمالیزه را نشان می دهد، ضریب Z ‎ ثابت بازبهنجارش است. مقیاسی است که برای بدون بعد ساختن ‎g‎ در بعد معرفی شده است. از آنجا که توابع گرین را با گوست خارجی در نظر نمی گیریم به گوست میدان باز بهنجار نیاز نخواهیم داشت. همچنین به پارامتر پیمانه ای بازبهنجار نیاز نداریم. اگر با کمیت ‎(مقدار)‎ مستقل پیمانه مثل توابع ضریب ویلسون سروکار داشته باشیم راه مستقیم پیاده سازی بازبهنجارش با روش متقابل یا معکوس یا دوگانه فراهم می شود. بدین وسیله میدانها و پارامترها درلاگرانژین اصلی که کمیت غیر بازبهنجار در نظر گرفته می شوند از طریق رابطه از ابتدا بصورت باز بهنجار شده، بیان می شود. ترم کوارک جنبشی بعنوان مثال عبارتست از :

و مزیت آن این است که تنها مقادیر باز بهنجار شده در لاگرانژین حضور دارد علاوه بر این ظاهر می شود که می تواند بعنوان بخش برهم کنش توابع گرین محاسبه شده در تئوری اختلال است، بکار میرود. قوانین فایمن‎ برای ترم در جهت مخالف در رابطه برای مثال اینگونه خوانده می شود.

ثابتهای به گونه ای که واگرایی در توابع گرین‎ را ازبین می برد تعیین می شود براساس طرح بازبهنجارش انتخاب شده که بحث شد با یک راه مشابه تمام ثابتهای بازبهنجار را می توان با درنظر گرفتن توابع گرین‎ مناسب ثابت کرد. اهمیت مرکزی برای مطالعه اثرات اختلال ‎QCD‎ معادلات گروه بازبهنجار است که حاکم بر وابستگی پارامترهای باز بهنجار و توابع گرین‎ واقع بر مقیاس بازبهنجار این معادلات دیفرانسیل از تعریف براحتی بدست می آید، با بهره گرفتن از این واقعیت که کمیتهای غیر باز بهنجار با مقادیر مستقل هستند. این روش موافقت و تبعیت جفت شدگی باز بهنجار را کشف می کند.

که

تابع را تعریف می کند که در هر بعد دلخواهی معتبر است، در چهار بعد به کاهش می یابد، بطور مشابه بعد غیر عادی جرم ازطریق زیر تعریف می شود:

که

در طرح ^[۲]MS ، است که در حال حاضر فقط شرط قطب در ثابت باز بهنجار حاضر است که می تواند به شکل زیر بسط داده شود:

با بکارگیری و داریم:

که اجازه یک محاسبه مستقیم از توابع گروه بازبهنجار از بخش قطب ثابت های بازبهنجار را می دهد. در همین راستا آنچه که در مرحله دو حلقه برای محاسبات بعدی مرتبه عمده مورد نیاز است، بدست می آید.

برحسب

داریم:

مشابه دو حلقه برای بیان ابعاد غیر عادی جرم کوارک می تواند به شکل زیر نوشته شود که:

همچنین ما بخش قطب در از ثابت باز بهنجار میدان کوارک را به که بعدا به آن نیاز پیدا خواهیم کرد واگذار کردیم:

ضرایب در معادلات عبارتند از:

‎

، تعداد رنگها است و‎f‎ تعدادی از طعمهای کوارک است. ضرایب در طرح ‎MS‎ افزوده شده اند با اینحال و مستقل طرح می شوند عبارات و در صحیح و معتبر هستند در پیمانه فاینمن است. در آرایش دو حلقه جواب معادله بازبهنجار برای می تواند همیشه به شکل زیر نوشته شود:

معادله کارکرد ثابت جفت شدگی در ‎NLO‎ را نشان می دهد به صفر میل می کند هنگامی که باتوجه به آزادی مجانبی متذکر می شویم که معادله مطابق با دقت دو حلقه تا حد مرتبه معتبر است به منظور شمارش مراتب در عبارت دو لگاریتمی ثابت در نظر گرفته شود داشته باشید که ترم اضافی ثابت است که از همان رتبه است بعنوان تصحیح عمده بعدی در می تواند همیشه داخل افزاینده باز تعریف شده در جذب شود ازاین رو انتخاب فرم بدون محدودیت امکان پذیر است اما باید در ذهن داشته باشیم که تعریف مربوط به این انتخاب خاص است. معرفی طرح متناظر با تعریف و ارتباط آن با بحث شده است.

سر انجام ما بسط دو حلقه را برای جرم کوارک در طرح ‎MS‎ ناشی از را نشان می دهیم.

عملگرها در واپاشی های ضعیف

بسط عملگرها در واپاشی های ضعیف

واپاشی ضعیف هادرونها از طریق برهمکنش های ضعیف غیرمستقیم (با واسطه) ترکیبات کوارکشان است که برهم کنش های قوی آنها مولفه های هادرونها را با گونه ای از مقیاس انرژی هادرونیک از مرتب مشخص می کند. بنابراین هدف استخراج تئوری انرژی پایین موثر در توصیف برهم کنش های ضعیف کوارکها می باشد. چارچوب کار برای رسیدن به این هدف ازطریق بسط عملگر ‎product‎ ارائه شده است‎(OPE).‎ به منظور معرفی ایده اصلی نهفته در آن مثال ساده ای از لول گذار که وابسته به واپاشی مجاز ‎Cabibbo‎ از مزونهای ‎D‎ را در نظر میگیریم برای لحظه ای بدون توجه به اثرات ‎QCD‎ سه مرحله تبادل دامنه ‎W‎ برای به شکل زیر ارائه می شود:

‎

که درآن اشاره به ساختار لورنس دارد. از آنجا که ،(انتقال تکانه) از طریق انتشارگر ‎W‎ در مقایسه با جرم‎W‎ بسیار کوچک است از نظر مرتبه، از جملات به بعد به راحتی می توان صرف نظر کرد و همه دامنه ‎A‎ می تواند توسط بخش اول واقع در‎(r.h.s)‎ از رابطه تخمین زده شود. اکنون این بخش نیز از هامیلتونین موثر تعریف شده به شکل زیر ممکن است بدست آید:

که در آن نمادهای عملگرهای ابعاد بالاتر شامل ترمهای مشتق شده که در اصل می تواند انتخاب شود به منظور تولید مراتب بالاتر از دامنه کامل در رابطه حذف شده است. این تمرین برای ما مثال ساده ای از را فراهم می کند.دو عملگر جریان بار به مجموعه ای از عملگر های مکانی بسط می یابد که در آن سهم هر کدام توسط تاثیر ثابت جفت شدگی (ضریب ویلسون) وزن می شود. یک فرایند اساسی تر با توجه به توابع مولد برای توابع گرین در فرمولاسیون انتگرال مسیر ممکن است ارائه شود‎. بخشی از توابع مولد مناسب برای بحثمان بمیزان جمع ضریب نرمالیزه ارائه شده توسط به شکل زیر است:

که چگالی لاگرانژین است که ترم انرژی میدان بوزن ‎W‎ وبر همکنش هایش را با جریانهای بار شامل می شود:

از آنجا که ما به توابع گرین با خطوط خارجی ‎W‎ علاقمندنیستیم،برای میدان ‎W‎ تعریف ترم میدان خارجی نداریم. در بحث حاضر ما علاوه بر انتخاب پیمانه یونیتاری برای میدان ‎W‎ هر چند که نتایج فیزیکی به این انتخاب بستگی ندارد، عملگر زیر را معرفی می کنیم:

ما ممکن است بعد از حذف یک مشتق کلی در ترم جنبشی‎W‎ معادله را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

معکوس با نمادگذاری و به شکل زیر تعریف می شود:

فقط انتشارگر ‎W‎ در پیمانه یونیتاری است

اعمال در آنرا به شکل زیر ساده می کند

‎

این نتیجه برای کوارک عملی غیر جایگزیده تابعی است

که در آن قطعه اول نشان دهنده شرایط کوارک جنبشی و دوم بر هم کنشهای جریان بار است‎.‎

اکنون می توان بخش دوم را بسط دهیم، بخش غیر جایگزیده با توانی از برای حصول یک سری از عملگرهای بر هم کنش مکانی از ابعادی که با افزایش رتبه در است، در پائین ترین رتبه

وبخش دوم معادله میشود

مطابق با آن لاگرانژین موثر برهم کنش جریان بار

که شامل (از جمله بخش دیگر) سهم عمده در است. ملاحضات ساده ای ارائه شده است که تا کنون چندین جنبه اساسی از رویکرد عمومی از آن را شرح می دهیم.

-بعبارت دیگر، فرایند تقریبی ترم بر هم کنش در از طریق مثالی از یک ‎OPE‎ مسافتهای کوتاه است. محصول عملگر های مکانی و که در فاصله کوتاه بوده بعلت پیچیدگی با انتشارگر برد کوتاه ‎W ، (در مقایسه با )، به یک سری از عملگرهای مرکب مکانی که بخش عمده آن در نشان داده شده است، گسترش یافت. سهم غالب در بسط فاصله کوتاه از عملگرهای با کمترین ابعاد می آید در مورد بحث انها عملگرهای چهار ‎(۴)‎ فرمیون از شش بعد هستند در حالیکه در واپاشی ضعیف عملگرهای ابعاد بالاتر معمولا می توانند نادیده گرفته شود.

-توجه به این موضوع ضروری است که با برهم کنش ضعیف جریان بار سروکار داریم و تقریب آن هنوز در بخش غیرمکانی در درگیر نیست جز اینکه مرتبه بالاتر اصلاحات ضعیف یا فرآیندهای با حالتهای بوزون ‎W‎ خارجی در نظر می گیریم متناظرا” بسط ‎OPE‎ که برهمکنش غیرمکانی است بسط داده شده است که زمانی که به همه مراتب در رسیدگی شود معادل اصل تئوری است. به عبارت دیگر مجموعه کامل از توابع گرین برای جریان بار برهمکنش های ضعیف از کوارک تولید خواهد شد. برشی از سری عملگر برای فرآیندهای کم انرژی حاصل یک طرح تقریب سیستماتیک است سهم های تحت فشار با توانی از نادیده می گیریم. در این روش قادر بساخت تئوری موثر کم انرژی برای واپاشی ضعیف هستیم.

-برای تکمیل تئوری موثر بوزن ‎W‎ بعنوان درجه آزادی دینامیکی حذف می شود در این مرحله است که اغلب بعنوان “ادغام بوزون ‎W‎” ارائه شده است. اصطلاحات که به زبان انتگرال مسیر بسیار آشکار است در بالا بحث شده است البته به طور جایگزین کاری که میتوان انجام داد، استفاده از فرمالیم عملگر کانوئیک است، که در آن میدان ‎W‎ بجای یکپارچگی کانوئیک ازطریق بکارگیری تئوری و یک استفاده کند. ترم برهمکنش چهار فرمیون مکانی نسخه مدرن از تئوری بر هم کنش ضعیف فرمی‎ است. توصیف مستقیم از فرمولاسیون ‎OPE‎ تاکنون از نظر دینامیک کم انرژی بحث شده است اثرات کوتاه برد تبادل نیرو با واسطه یک بوزون سنگین تقریبا وابسته به نقطه برهمکنش است‎.

-علاوه براین مشاهدات نشان می دهد روش ارزیابی توابع گرین مربوطه (یا دامنه) بطور مستقیم در ساخت ‎OPE‎ همانطور که در نشان داده شده نقش دارد درواقع نتایجی که در تکنیک انتگرال مسیر بکارگیری می شود در حالیکه دومی می تواند بینش مفیدی در جنبه های عمومی روش ارائه دهد سابقا برای محاسبات عملی راحت تر بود وآن را در کل بحث دنبال می کنیم.تا کنون در باره بر هم کنش قوی بین کوارکها صحبت نشد که البته می توان آن را در نظر گرفت. آنها توسط ‎QCD‎ شرح داده می شود و در تئوری اختلال می تواند در برد کوتاه محاسبه شود که ناشی از خواص آزادی مجانبی از ‎QCD‎ است سهم تبادل گلوئون مربوطه تصحیحات کوانتوم را به منظور ساده سازی موضوع روشن شده در بالا که می تواند در این مورد به عنوان تقریب کلاسیکی مد نظر قرار گیرد تشکیل می دهد. در این بخش پیوستگی و تلفیق تصحیحات ‎QCD‎ و ویژگیهای اضافی مرتبط که آنها مفهوم ‎OPE‎ را می رساند توصیف خواهد شد.

بسط عملگرها و اثرات برد کوتاه QCD

اکنون بحث تصحیحات QCD در فاصله کوتاه‌برد در OPE برای برهمکنش ضعیف را ادامه خواهیم داد نقطه حیاتی برای این امر خطیر خواص آزادی مجانبی QCD است این مجوزی است که تصحیحات برد کوتاه مورد عمل قرار گیرد و این بدین معنی است که سهم گلوئون سخت در انرژی از مرتبه به مقیاس هادرونیک یعنی کمتر از ۱Gev در تئوری اختلال کاهش دهد. در حال ناگزیر به محدود سازی به شش بخش عمده هستیم. در OPE و سهم عملگرهای مکانی دیگر را نادیده می‌گیریم مثالی از گذار را که برای دامنه‌اش بدون اعمال QCD داشتیم

یاد‌آوری می‌کنیم که در آن تکرار مجموع‌ یابی بیش از شاخص رنگ قابل درک است این نتیجه مستقیماً به هامیلتونین مؤثر (۲-۲) که در آن شاخص رنگ سرکوب شده، منجر می‌شود. اگر اثرات QCD را اعمال کنیم هامیلتونین مؤثر به منظور بازتولید تئوری دقیق‌تر با تقریب کم‌انرژی ساخته می‌شود که به شکل زیر تعمیم داده شده است.

که

از ویژگی‌های اساسی این هامیلتونین عبارتند از علاوه بر عملگر اصلی (با شاخص ۲ بدلایل تاریخی) عملگر با فرم طعم مشابه اما با ساختار رنگ مختلف تولید می‌شود. دلیل این است که با پیوند گلونون واحد دو رنگ خطوط جریان ضعیف می‌تواند شاخص رنگ مخلوط (mix) شود که منجر به رابطه زیر برای رنگ بار می‌شود

ضرایب ویلسون و ، ثابت جفت‌شدگی برای ترم برهمکنش و توابع حساب شده و قابل اعتماد به سبب و و مقیاس باز بهنجار شده‌اند که اگر QCD در نظر گرفته نشود آنها شکل عمده دارند و رابطه (۲-۱۷) به رابطه (۲-۲) ساده می‌شود. به منظور بدست آوردن نتیجه نهایی هامیلتونین (۲-۱۷) باید ضرایب را تعیین کنیم آنها با توجه به نیازی که دامنه در تئوری کامل (Full) از طریق دامنه وابسته در تئوری مؤثر (۲-۱۷) بازسازی می‌شود تعیین می‌شوند پس

اگر دامنه A و عناصر ماتریس عملگر و را در همان مرتبه محاسبه کنیم می‌توانیم و از طریق رابطه (۲-۲۱) بدست بیاوریم این فرایند تطبیق تئوری کامل با تئوری مؤثر (۲-۱۷) نامیده می‌شود.

حال ترم دامنه را در معنی تابع گرین جدا شده^[۳] بکار می بریم. متناظرا” عناصرماتریس عملگر، (در این مبحث اختلال) توابع گرین جداشده با عملگر های محاسباتی هستند. به همان نسبت عناصر ماتریس عملگر مطابق این فضای اختلالی هستند. از طریق عملگر الحاقی هستند در زبان شکل این توابع گرین جدا شده از طریق گراف فایمن اما بدون اصلاحات خود انرژی گلوئونیک در مسیر حرکت خارجی مثل آرایش ۲، ۳ برای بترتیب تئوری کامل و تئوری مؤثر ارائه می‌شود. در مثال حاضر نمودار پنگوئن بعلت ساختار طمع از لحاظ گذار شرکت نمی‌کند.

بررسی نمودارهای جریان- جریان آرایش را برای دامنه کامل A بر حسب ( ) می‌یابیم.

در اینجا ما به معرفی دامنه Spinor می‌پردازیم.

که عناصر ماتریس و فقط در سطح درخت هستند ما پیمانه فاینمن را بکار می‌بریم ( ) و تمام خطوط خارجی کوارک بدون جرم و حامل خارج از پوسته مومنتوم را تفسیر می‌کنیم علاوه بر این فقط اصلاحات لگاریتمی نگه ‌داشته میشود و لگاریتم و سهم ثابت از مرتبه را دور می‌ریزیم که مربوط به تقریب منجر به لگاریتم است. باز بهنجارش لازم میدان کوارک در طرح MS در رابطه گنجانده شده است که تکینگی در ترم اول حذف می‌شود بنابراین حامل صریح وابستگی است.

تک حلقه جریان- جریان ( )- ( ) ، پنگوئن ( ) و جعبه ( )، شکل ها در تئوری فال.

برای اصلاحات محض QCD همچنانکه در این بخش ملاحظه می‌شود و برای مثال در VI Y و Z سهمشان در شکل (d) و شکل (e) وجود ندارد امکان انعکاس اشکال به چپ و راست یا بالا و پائین نمایش داده شده است. در شرایط مشابه عناصر ماتریس باز بهنجار نشده جریان- جریان عملگرهای و از شکل ۳(a)-© اینگونه یافت می‌شود.

واگرایی در ترم اول از طریق بازبهنجارش میدان حذف شده است دوباره با اینحال در مقایسه با دامنه کامل عبارات بدست آمده هنوز هم واگراست بنابراین به یک بازبهنجار کمک‌کننده اضافی ضربی و ارجاع دادن به عملگر بازبهنجار لازم است

از آنجا که و هر یک شامل و هستند ثابت بازبهنجارش در این مورد ماتریس ۲×۲ است. رابطه بین بازبهنجار نشده و توابع گرین جدا شده عبارتست از

از ، و استنباط می‌کنیم که (در طرح MS)

حلقه جریان- جریان ©- (a) و پنگوئن (d)، نمودارهایی است که در ابعاد غیرعادی LO شرکت می‌کند و شرایط را در تئوری مؤثر تطبیق می‌دهد ۴ رأس نشان‌ دهنده الحاق ۴ فرمیون است برای اصلاح QCD محض همانطور که در این بخش و ملاحظه شده است سهمی از در شکلهای (d.1) و (d.2) دوباره غایب است و امکان انعکاس چپ- راست یا بالا- پائین نشان داده نشده است.

چنین بر می‌آید که عناصر ماتریس بازبهنجار عبارتست از:

با جاگذاری در و مقایسه با می‌رسیم به

حال از بحث خارج شده و دیدگاه خود را پیرامون بازبهنجارش ترم برهمکنش در تئوری مؤثر اضافه کنیم رایج‌ترین قرارداد آشنا معرفی از طریق رابطه یعنی ثابت بازبهنجار تعریف

شده به منظور جذب واگرایی عناصر ماتریس عملگر است. با این حال آموزنده است که بازبهنجارش با اندکی تفاوت از نظر بگذرانیم اما البته راه معادل مرتبط با روش دوگانه استاندارد در بازبهنجارش اختلال است به طور معمول هامیلتونین تئوری مؤثر را بعنوان نقطه شروع با میدان‌ها و ثابت‌های جفت‌شدگی بعنوان کمیتهای ساده که بر اساس باز بهنجارشده اند را در نظر می گیریم.

پس هامیلتونین اساساً ( با حذف ضریب )

که ضریب مقابل حذف می‌شود

یعنی ( ) برحسب جفت‌شدگی و میدان‌های بازبهنجار می‌تواند نوشته شود ترم مثبت جواب می‌دهد. استدال در ترم اول رابطه نشان می‌دهد که ترم برهمکنش از میدان ساده تشکیل شده است. محاسبه دامنه با هامیلتونین که شامل ترم جواب است، نتیجه مطلوب بازبهنجار معین را نتیجه می دهد‌.

از این رو (در مقایسه با )

به طور خلاصه گاهی مفید است که این مسئله را در نظر داشته باشیم که میتوان به «عملگر بازبهنجارش» که مفهومی نوین معادل عرض ثابت جفت‌شدگی بازبهنجار در تئوری میدان می باشد. حال جزئیاتی از استخراج ضرایب ویلسون در را ارائه می‌دهیم. بنابراین بحث وتفسیر، مهمترین جنبه بسط فاصله کوتاه برای واپاشی ضعیف ارائه شده با عملگرهای تلفیقی^[۴] مواجه می شویم. این اتفاق به این دلیل می افتد که اصلاحات گلوئونیک عناصر ماتریس عملگر اصلی خود متناسب با نیست زیرا شامل ساختار اضافی ‌ می باشد وبالعکس. بنابراین علاوه بر ترم جواب یک ترم جواب متناظر با به منظور بازبهنجارش این عنصر ماتریس نیاز است مطرح شود. عملگرهای مشروحه در موضوع به منظور ترکیب^[۵] تحت بازبهنجارش هستند، با اینحال در اصل چیز جدیدی نیست این فقط تعمیم جبری مفاهیم معمول است که در واقع اگر یک عملگر اساسی دیگر یعنی با ضرایب را معرفی کنیم، بازبهنجارش قطری می‌شود و عناصر ماتریس و بازبهنجار ضربی هستند. در این مبنای جدید، OPE اینگونه بازخوانده می‌شود:

که

در محاسبات مربوط به دامنه A در و عناصر ماتریس در و مومنتوم خارج از پوسته P از لحاظ قسمت کوارک خارجی نشان‌دهنده یک تنظیم‌کننده مادون قرمز است.

واگرایی مادون قرمز لگاریتمی از شکلهای اصلاحات گلوئون شکل۲ و شکل۳

همچنانکه از روابط و و مشهود است دیدگاه مشابهی برای وابستگی دامنه کامل A می‌تواند ساخته شود می‌بینیم که رابطه در محدوده واگرای لگاریتمی است این رفتار در واگرایی ماوراء بنفش منعکس شده است (پس از بازبهنجارش میدان) اصرار بر عناصر ماتریس و است.

در تئوری مؤثر که ترم برهمکنش مکانی مطابق با برهمکنش ضعیف در حد نامتناهی است همچنانکه آنها فقط سهم عمده‌ای از بسط عملگر محصول هستند این همچنین بر مشخصه لگاریتمی وابستگی تابعی از اصلاحات عمده دلالت دارد که به وضوح مربوط به ساختار واگرایی تئوری مؤثر است یعنی به ثابت بازبهنجار ، مهمترین ویژگی OPE است که سهم عامل برد کوتاه (ضرایب) و فاصله بلند (عناصر ماتریس عملگر) را تأمین می‌کند این امر در مثال ما بوضوح به نمایش گذاشته است وابستگی دامنه رابطه بعلت نشان‌دهنده ساختار فاصله بلند از A کاملاً در عناصر ماتریس عملگرهای مکانی روابط و موجود است در حالی که ضرایب ویلسون در رابطه از این وابستگی آزاد هستند. اساساً این عامل‌بندی به شکل ( به – ) نگاه کنید.

یعنی:

ضرایب ماتریس عملگر^[۶] ضرایب تابع^[۷] = دامنه

بدینوسیله لگاریتم در l.h.s به دو قسمت تقسیم می‌شود. بر اساس

از آنجا که رفتار لگاریتمی در نتیجه انتگرال‌گیری بیش از برخی مومنتوم حلقه مجازی است، این مطلب را مجددا” بازنویسی می کنیم:

که نشان می‌دهد ضریب شامل سهمی از ممنتای مجازی بزرگ از اصلاح حلقه در مقیاس به است در حالیکه سهم انرژی پائین در عناصر ماتریس تفکیک شده است.

البته دومی را در تئوری اختلال برای گذار بین حالتهای فیزیکی مزون نمی‌توان محاسبه کرد نکته این است که ما OPE را برای حالتهای خارجی کوارک خارج از پوسته غیرفیزیکی فقط به منظور استخراج ضرایب ویلسون که برای ساخت‌ هامیلتونین مؤثر نیاز داریم محاسبه می‌کنیم.

بدین منظور می بایستی این موضوع را در نظر بگیریم که دامنه غیرفیزیکی بی‌معنی است از آنجا که توابع ضریب به حالتهای خارجی بستگی ندارد اما ساختار فاصله کوتاه را در تئوری نشان می‌دهد به محض اینکه ضرایب را استخراج و تئوری مؤثر را نوشتیم اصل کمترین برای ارزیابی دامنه واپاشی با بهره گرفتن از برخی رویکردهای غیراختلالی را می‌توان بکار برد.

در تفسیر نقش مقیاس ممکن دو جنبه متفاوت را تشخیص می دهیم از نقطه نظر تئوری مؤثر فقط یک مقیاس بازبهنجار است در فرایند بازبهنجارش مؤثر مکانی معرفی می‌شود شرایط از طریق روشی بعدی است از سوی دیگر از نقطه نظر تئوری کامل ، به عنوان مقیاسی عمل می‌کند که سهم کامل به بخش کم‌انرژی و پرانرژی تفکیک شده است همچنانکه از بالا آشکار است به همین دلیل فاکتور مقیاس نام دارد.

مقیاس فاکتور کردن

ساختار مادون قرمز از دامنه از طریق مومنتوم خارج از پوسته مشخص می‌شود. در حالت عمومی با هر وضعیت و پیکربندی مومنتوم دلخواه بررسی می شود. همراه یا بدون جرم کوارک خارجی- روی پوسته یا خارج از پوسته و با واگرایی‌های مادون قرمز تنظیم شده توسط مومنتای خارج از پوسته. توده کوارک (جرم کوارک) جرم گلوئون ساختگی یا با تنظیم ابعادی به علاوه در مورد مومنتای خارج از پوسته دامنه وابسته به پارامتر پیمانه میدان گلوئون است. همه این موارد به ساختار مادون قرمز یا ساختار فاصله بلند دامنه وابسته است بنابراین وابستگی به این گزینه برای همه دامنه و برای عناصر ماتریس عملگر یکسان است و توابع ضریب نادیده گرفته می‌شود. برای بررسی اینکه وضعیت برای یک انتخاب خاص از اهمیت حیاتی برای محاسبات عملی خوردار است. از طرف دیگر می‌توان با بهره گرفتن از این آزادی انتخاب رفتار خطوط خارجی را بر اساس راحتی یا طعم انتخاب کند گاهی اوقات با این حال حفظ وابستگی ناخوشایند بر جرم خارجی و/ یا پیمانه گلوئون به منظور داشتن یک بررسی مفید است. بنظر می‌رسد که این وابستگی در واقع منجر به حذف برای ضریب ویلسون می باشد.

هامیلتونی موثر در بر هم کنش های ضعیف

هامیلتونی مؤثر

بخش دوم خلاصه‌ای از هامیلتونین مؤثر برای واپاشی ضعیف است، را که مورد بحث قرارمی گیرد. همه واپاشی‌هایی را که اصلاحات NLO برای آنها در نوشتار محاسبه شده. این شامل فهرستی از شرایط اولیه فهرستی از تمام تک‌حلقه‌ای و دوحلقه‌ای ماتریس ابعاد ناهنجار و در نهایت جداول ارزشهای عددی وابسته به ضرایب ویلسون و و طرح‌های بازبهنجارش در نظر گرفته شده می‌شود در برخی از موردها ما قادر به دادن فرمول تحلیلی برای هستیم.

تمامی هامیلتونین‌های مؤثر رایکی یکی با کمک گرفتن از فرمول‌های اصلی و فرایند بخش قبلی بحث خواهد شد که دیدن شباهت‌ها و تفاوتها بین موارد مختلف آسان است واختصرا” همچنین شامل گذار و که هر چند عمدتاً در تقریب لگاریتمی شناخته شده و شایسته توجه ویژه می باشد.

در نهایت بعنوان یک آمادگی برای بخش سوم توضیح مختصری از بسط جعبه پنگوئن^[۸] (PBE) که می‌تواند بعنوان مدلی از OPE خصوصاً برای مطالعه وابستگی که در واپاشی ضعیف بررسی در نظر گرفته شود بعلاوه بخشی از محاسبات NLO QCD در چارچوب HQET گنجانده‌ایم.

این فصل تا حدودی مباحث خارج از اهمیت را پنهان می‌کند همچنین یک بحث جامع از HQET به وضوح فراتر از نوشتار حاضر است.

با این حال کاربردی از فرمالیسم عمومی را برای اصلاحات مسافتهای کوتاه QCD نشان داده خواهد شد و در این چارچوب برخی نتایج مهم NLO که در HQET بدست آمده‌اند را خلاصه می کنیم.

عملگرهای همیلتونی موثر

به منظور تسهیل در ارائه هامیلتونین‌های مؤثر در واپاشی ضعیف، مجموعه‌ای از عملگرهای مرتبط با آن را در ذیل ارائه می شود که در شش کلاس تقسیم‌بندی شده‌اند. این عملگرها نقشی عمده را در پدیده‌شناسی واپاشی ضعیف بازی می‌کنند. کلاسها به شرح زیرند:

عملگرهای جریان- جریان(شکل (a)3):

عملگرهای پنگوئن QCD (شکل (b)3):

عملگرهای الکتروضعیف پنگوئن (شکل ©3):

عملگرهای مغناطیسی پنگوئن (شکل (d)3):

عملگرهای و (شکل (e)3):

عملگرهای نیمه لپتونی (شکل (f)3):

که در آن شاخص‌ها در جریان‌های رنگ یگانه تحت فشار قرار گرفته است برای اهداف گویا و توضیح دهنده نمودارهای معمولی در تئوری کامل که از آن عملگرهای – سرچشمه می‌گیرد در شکل نشان داده شده است. عملگرهای لیست شده بالا بررسی‌ها را وارد مد سیستماتیک خواهد کرد اندکی پیش تر با ارائه هامیلتونین مؤثر که با عملگرهای جریان- جریان ، فقط سروکار دارد آغاز می‌کنیم. این‌ هامیلتونین‌های مؤثر ارائه شده در، و بترتیب برای ، و واپاشی‌های غیرلپتونی است.

هامیلتونین‌های و به منظور به حساب آوردن عملگرهای پنگوئن QCD ، داده می شود که عبارات متناظر آن‌ها پیش تر ارائه شده است. این تعمیم بر ضرایب ویلسون و تأثیر نمی‌گذارد.

نمودارهای فاینمن مربوط به بوزون w .

پیشتر در بخش و هامیلتونین‌ها به منظور به حساب آوردن عملگرهای پنگوئن الکتروضعیف تعمیم داده شد. این هامیلتونین‌های تعمیم داده شده برای و واپاشی غیرلپتونی ارائه شده اند. گنجاندن عملگرهای پنگوئن الکتروضعیف مستلزم گنجاندن اثرات QED است در نتیجه ضرایب عملگرهای ارائه شده در این بخش اندکی با بخش قبل متفاوت است.

پیشتر هامیلتونین مؤثر برای نمایش داده خواهد شد که این هامیلتونی می‌تواند بعنوان یک تعمیم از به منظور به حساب آوردن عملگرهای نیمه لپتونی و در نظر گرفته می شود. این تعمیم مقادیر عددی از ضرایب ( ) ارائه شده را تغییر نمی‌دهد. پیشتر هامیلتونین مؤثر را که برای نوشته شده بحث خواهیم کرد. این هامیلتونین می‌تواند بعنوان تعمیمی از به منظور به حساب آوردن عملگرهای پنگوئن مغناطیسی و در نظر گرفته شود. این تعمیم مقادیر عددی از ضرایب بطوری که را تغییر نمی‌دهد. هامیلتونین مؤثر برای نمایش داده شده است که می‌تواند بعنوان تعمیمی از هامیلتونین به منظور به حساب آوردن عملگرهای نیمه لپتونی و در نظر گرفته شود ضرایب ارائه شده با این تعمیم تحت تأثیر قرار نمی‌گیرد. هامیلتونین‌های مؤثر برای ، ( ) و در مباحث بعدی بحث خواهد شد.

هر یک از این هامیلتونین‌ها فقط شامل یک عملگر یکتاست یا برای ( ) و با عملگرهای مشابه برای ، هامیلتونین‌های مؤثر برای گذار و ارائه داده می‌شود. این هامیلتونین‌ها شامل عملگرهای و است .

فهرستی از هامیلتونین‌های مؤثر در زیر ارائه شده و معادلات آن‌ها را می‌توان یافت و نیز لیستی از عملگرهایی که هامیلتونین‌های مؤثر متمایز بدست می‌آورند، نیز گردآوری ‌شده اند.

فرآیندها

جریان- جریان ، که

برای محض

برای و الکتروضعیف

عملگرهای توزیع

فرآیندها و معادلات CF و نقش عملگرهایشان

همیلتونین های موثر عملگرهای جریان- جریان

عملگرها

این بخش به اختصار با ارائه بخشی از هامیلتونین‌های مؤثر که فقط با عملگرهای جریان- جریان سر و کار دارند شروع می‌ شود این عملگرها عموماً با و مشخص می‌شود گرچه ساختار طعم آنها به واپاشی مطرح شده بستگی دارد به طور خاص

بترتیب برای واپاشی و و در نظر می‌گرفته می شود سپس هامیلتونین مؤثر مرتبط عبارتست از

همانطور که در بخش بعدی خواهیم دید این هامیلتونین‌ها باید تعمیم داده شود تا عملگرهای پنگوئن را نیز شامل شود. اما این کار ضرایب ویلسون و را تغییر نمی‌دهد مگر برای اصلاحات کوچک در تجزیه و تحلیل کامل که همچنین عملگرهای پنگوئن الکتروضعیف را نیز در بر دارد. بهمین دلیل مفید است که به منظور ارائه نتایج برای به طور جداگانه اقدام شود همانطور که آنها می‌توانند در کلاسهای بزرگی در واپاشی مورد استفاده قرار گیرند. هنگام تحلیل و در ایزولاسیون کار با عملگرهای و ضرایب آنها تعریف و بصورت زیر ارائه شده اند.

و تحت باز بهنجارش ترکیب نمی‌شوند و خیلی ساده هستند.

ضرایب ویلسون

شرایط اولیه برای در از طریق روش فرایند تطبیق بین تئوری کامل و تئوری مؤثر بدست آمده است :

و با بهره گرفتن از NLORG فرمول تحول برای حالت بدون تلفیق، برای ضرایب ویلسون را در برخی مقیاس می‌یابیم.

که در آن ضرایب و از تابع در QCD نمایش داده شده‌اند علاوه بر این ضرایب بسط LO و NLO برای ابعاد غیرعادی از در و ضرایب در عبارتند از:

تعداد رنگها است. پارامتر را که براحتی بین طرحهای بازبهنجار تمایز ایجاد می‌کند معرفی می‌کنیم.

بنابراین با بهره گرفتن از در زیر برای در رابطه می توان نوشت :

تنظیم و و به صفر تقریب عمده لگاریتمی را ارائه می‌دهد. محاسبات NLO در طرح NDR و طرح HV در نگارش سعی در گنجاندن اصلاحات در طرح HV دارد که حاصل از ناپدید شدن بعد غیرعادی دو حلقه از جریان ضعیف است.

اصلاحات در در طرح کاهش ابعادی (DRED)، در نظر گرفته شده و تأئید گردیده در اینجا . این مقدار برای در DRED همچنین شامل یک بازبهنجارش متناهی از به منظور کار کردن در همه طرح‌های با جفت‌شدگی متداول است همانطور که در بخش های قبلی بحث شد، ( ) طرح مستقلی است وابستگی طرح از ضرایب ویلسون سرچشمه می‌گیرد پس بطور کلی وابستگی طرح از است در سطح پائین‌تر ناشی می‌شود.

نهایت تحول می‌تواند در رابطه دیده شود به منظور نمایش دادن وابستگی در همان موقعیت وابستگی طرح مفید است که رابطه در واپاشی B به شکل زیر بازنویسی شود.

با

در خلاصه‌سازی وابستگی طرح بازبهنجار به وابستگی توجه می شود در پرانتز اول داریم نسبت به رابطه مقابل را قرار می‌دهیم بعنوان تفاوت در مقیاس در این اصلاح هنوز از مرتبه بالاتری برخوردار است. همچنین توجه داریم که تغییر طرح بازبهنجار می‌تواند با تغییر در عوض بشود (جبران بشود) از به طور کلی می‌یابیم:

که نشان‌دهنده طرح ارائه شده است ما پس از داریم:

بدیهی است که تغییر در مرتبط با و برای و و در نتیجه برای یکسان است. این بحث نشان می‌دهد که تحلیل معنی‌دار از وابستگی ، فقط می‌تواند همزمان با تحلیل وابستگی طرح ساخته شود. ضرایب برای واپاشی B را اکنون می‌توان محاسبه کرد:

برای این منظور قرار داده می شود که در فرمول‌های بالا و دو حلقه را از معادله با مقدار استفاده می‌ شود. مقدار واقعی عددی مورد استفاده برای یا بطور معادل در ضمیمه A به همراه دیگر پارامترهای مصرفی عددی جمع‌ آوری شده است. در مورد واپاشی D و واپاشی K مقیاسهای مربوطه بترتیب و هستند به منظور محاسبه می بایست این ضرایب را نخست از پائین‌تر از در تئوری مؤثر با استنتاج کند. مطابق ما به یک تقریب بسیار خوب برای می‌رسیم.

متأسفانه ضرورت استنتاج از پائین‌تر از در دو تئوری مؤثر متفاوت ( و ) و در نهایت در مورد واپاشی K با برای فرمولهایی نسبتاً پیچیده برای در واپاشی D و واپاشی K می‌سازد.

به منظور پیدا کردن برای فرد می‌تواند به سادگی فرمول جامع ارائه شده در بالا را با با و عدد مؤثر از طعمهای فعال جایگزین کرده و بکارگیری کند.

این نتیجه می‌تواند با مقایسه نتایج حاضر در اینجا و آنهایی که هیچ ترفندی در آن بکار نرفته است تأیید شود ویژگی خوب این روش آن است که و وابستگی طرح بازبهنجار از می‌تواند در شرایط ساده مورد مطالعه قرار گیرد. ضرایب عددی برای واپاشی B برای های متفاوت و متفاوت نشان داده شده‌اند بعلاوه ما مقدارهای LO را برای نتایج برای طرحهای بازبهنجار HV و NDR نشان دادیم. نتایج مرتبط برای واپاشی K و واپاشی D در جدول و ارائه داده شده‌اند.

ضرایب برای واپاشی های B

ضرایب برای واپاشی B

از جدول های و مشاهده می‌کنیم که:

وابستگی طرح به ضرایب ویلسون بویژه در مورد خاص که در غیاب اصلاحات QCD به صفر میل می‌کند و ناپدید می‌شود قابل توجه است.

– تفاوت بین نتایج LO و NLO در مورد بزرگ است که نشان‌دهنده اهمیت اصلاحات عمده بعدی است در واقع در طرح NDR اصلاحات به بزرگی ۷۰% است این مقایسه بین ضرایب LO و NLO با اینحال می‌تواند مورد سؤال باشد چرا که برای مقادیر انتخاب شده از واحد در مقایسه با دارد. [۱]

در نتیجه تفاوت در نتایج LO و NLO برای تا حدودی منشاء تغییر در مقدار جفت‌شدگی QCD است.

– واقعیت دوم برای ارائه نتایج LO که در آن عبارات عمده بعدی برای استفاده شده است آموزنده است. مثالهایی در جدول های و ارائه داده‌ایم اکنون تفاوت بین نتایج LO و NLO بوضوح کوچکتر است هر چند هنوز به بزرگی ۳۰-۴۰% در مورد و طرح NDR است.

– در هر صورت گنجاندن ا