(۲-۲۴)

(b)H اکیداً پسیو است و گین محدود دارد اگر و فقط اگر گین S کمتر از ۱ باشد.
۲-۴- ۵-۱- پایداری در فیدبک های به هم پیوسته
در این قسمت ما مفهوم پسیویتی را در آنالیز پایداری فیدبک‌های به هم پیوسته مورد استفاده قرار می‌دهیم. بدون از دست دادن کلیت ما فرض می‌کنیم که سیستم‌ها در ابتدا relaxed هستند و بنابراین ثابت B در تعریف‌های (۵-۲) و (۶-۲) مساوی با صفر می‌باشند. نخستین نتیجه‌مان شامل ساده‌ترین شکل قضیه پسیویتی است. قضیه ساده در مورد یک فیدبک سیستم با یک ورودی همان‌طوریکه در شکل (۲-۶) نشان داده شده است می باشد.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

شکل (۲-۶): سیستم فیدبک
قضیه ۲-۴: فرض کنید و فیدبک به هم پیوسته تعریف شده توسط معادله زیر را درنظر بگیرید:

(۲-۲۵)

(۲-۲۶)

تحت این شرایط اگر پسیو و اکیداً پسیو باشد، آنگاه برای هر .
قضیه ۵-۴ می‌گوید که با فرض اینکه معادلات فیدبک سیستم (۲-۲۶)- (۲-۲۵) یک حلی را بپذیرد، آنگاه اگر پسیو و اکیداً پسیو باشد، خروجی محدود است هرگاه ورودی محدود باشد. مطابق با تعریف پایداری ورودی- خروجی، این دلالت می‌کند بر اینکه سیستم حلقه بسته دیده شده بعنوان یک طرح از به ، پایدار ورودی- خروجی است. این قضیه تضمین نمی‌کند که خطای و خروجی محدود باشند. برای اینکه این دو سیگنال محدود باشند، ما یک فرض قوی‌تری نیاز داریم یعنی سیستم اکیداً پسیو باید هم‌چنین گین محدود داشته باشد. ما این مورد را در قضیه بعدی درنظر می‌گیریم.
قضیه ۲-۵: فرض کنید و دوباره معادله سیستم فیدبک (۲-۲۹)- (۲-۲۸) را درنظر بگیرید. تحت این شرایط، اگر هر دو سیستم پسیو باشد و یکی از آن‌ها (i) اکیداً پسیو (ii) گین محدود داشته باشد آنگاه ، ، و در X هستند اگر .
قضیه ۲-۶: فرض کنید و سیستم فیدبک با معادلات زیر را درنظر بگیرید:

(۲-۲۷)

(۲-۲۸)

تحت این شرایط، اگر هر دو سیستم پسیو باشند و یکی از آن‌ها (i) اکیداً پسیو و (ii) گین محدود داشته باشد آنگاه ، ، و در X هستند هرگاه .
۲-۴-۶ پسیویتی سیستم‌های LTI
در این قسمت، ما بعضی از شرح‌های مفهوم پسیویتی و اکیداً پسیویتی را در مورد سیستم‌های LTI بررسی می‌کنیم و توجهمان را فقط به فضای محدود خواهیم کرد.
قضیه ۲-۷: سیستم تعریف شده توسط را درنظر بگیرید که . ما داریم:
(i)H پسیو است اگر و فقط اگر
(ii)H اکیداً پسیو است اگر و فقط اگر
همچنین با فرض اینکه ، H نسبی و پایدار خواهد بود. بنابراین مطابق قضیه ۲-۱، H پسیو (اکیداً پسیو) است اگر و فقط اگر این مثبت (اکیداً مثبت) باشد. هم‌چنین داریم:

و توجه کنید که