مدل سه پارامتری دارای یک پارامتر اضافی است که سبب می­ شود انتهای منحنی ویژگی­های سوال روی نقطه صفر قرار نگیرد. برای مثال، وقتی که می­توان پاسخ درست سوال را حدس زد، مانند سوال­های چند گزینه­ای آزمون­های شناختی، احتمال موفقیت حتی در سطوح پایین صفت به طور قابل توجهی بالاتر از صفر است. همانطور که در معادله ‏۳‑۳ مشاهده می­کنید، مدل سه پارامتری با افزودن پارامتر مجانب پایین یعنی حدس زدن را همساز می­ کند.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

معادله ‏۳‑۳: مدل سه پارامتری

شکل ‏۳‑۳: منحنی های ویژگی سوال از مدل لوجستیک سه پارامتری.
در شکل ‏۳‑۳ سه سوال با دشواری و قوه تمیز برابر اما با مجانب­های پایین نابرابر نشان داده شده است. احتمال موفقیت در هر سه سوال حتی در پایین­ترین سطح صفت بالاتر از صفر است. در مورد سوالی که γ برابر ۲۵/۰ است، حتی در پایین ترین سطح توانایی احتمال پاسخ درست کمتر از ۲۵/۰ نیست. در صورتی که احتمال حدس زدن پاسخ درست صفر نباشد، این پیش ­بینی قابل قبول است. در مورد سوال­های چهارگزینه­ای، احتمال موفقیت از راه حدس تصادفی تفاوت ۲۵/۰ است. اما، برآورد مجانب در مدل سه پارامتری اغلب با احتمال حدس زدن تصادفی تفاوت دارد. برای مثال، اگر آزمودنی­ها به طور نظام­دار بتوانند گزینه­ های نامطلوب را حذف کنند، انتخاب درست از بین بقیه گزینه­ ها، احتمال بیشتری در مقایسه با حدس زدن تصادفی خواهد داشت.
در مدل سه پارامتری که همه سوال­های آن مجانب یکسان دارند برآورد احتمال پاسخ با مشکل مواجه می­ شود. برای اجتناب از این مشکل برآورد، برای همه سوال­های مشابه، یک مجانب پایین مشترک محاسبه می­ شود. دشواری سوال در مدل سه پارامتری معنای متفاوت دارد. اگرچه در اینجا نیز دشواری سوال در نقطه عطف منحنی ویژگی سوال (ICC) دیده می­ شود، اما با سطحی از صفت که در آن احتمال موفقیت ۵۰ درصد باشد برابر نیست. مجانب پایین نقطه عطف را تغییر نمی­دهد.
مدل­های سوال پاسخ چند ارزشی
مدل­های سوال پاسخ برای معرفی معادله بین یک متغیر یا صفت مکنون پیوسته و سوال پاسخ دو ارزشی این محدودیت را دارد که چارچوب بسیاری از پاسخ­هایی را که روان­شناسان به کار می­برند نمی­ توان به صورت درست و غلط نمره­گذاری کرد. شمار زیادی از ابزارهای اندازه ­گیری، به ویژه در حوزه سنجش نگرش و شخصیت با سوال­های چندگزینه­ای به صورت طبقه ­های چندگانه مرتب شده وجود دارند. برای این­گونه داده ­های سوال پاسخ چند طبقه­ای، مدل­های سوال پاسخ چند ارزشی مورد نیاز است تا بین سطح صفت آزمودنی و احتمال پاسخ دادن به یکی از طبقه­ها یک معادله غیر خطی ارائه شود.
نمره­گذاری آزمودنی­ها بر اساس مدل­های نظریه سوال پاسخ
بحث در این فصل به نمره­گذاری مدل­های تک بعدی دو ارزشی نظریه سوال پاسخ محدود خواهد شد. در تمامی راهبردهای نمره­گذاری مبتنی بر نظریه سوال پاسخ کوشش می­ شود که با بهره گرفتن از الگوی پاسخ­دهی آزمودنی­ها همراه با پارامترهای برآورد شده سوال، جایگاه افراد در پیوستار صفت مکنون برآورد شوند. در این فصل، سه مورد از این راهبردهای نمره­گذاری سوال­های دوارزشی که شامل بیشینه درست­نمایی^[۱۴] (ML)، بیشینه پسین^[۱۵] (MAP) و پسین مورد انتظار ^[۱۶] (EAP) هستند را مورد بحث قرار می­دهیم.
اگرچه بحث را به نمره­گذاری سوال­های دو ارزشی محدود کرده­ایم، ولی بیشتر الگوریتم­های نمره­گذاری که در اینجا شرح داده شده است به آسانی در مورد مدل­های سوال پاسخ چند ارزشی نیز قابل تعمیم است. همچنین در این فصل مدل­های ۱PL و ۲PL به عنوان پایه­ای برای توضیح مطالب به کار خواهند رفت. البته، نمره­گذاری به مدل نظریه سوال پاسخ مورد استفاده بستگی دارد، اما منطق الگوریتم­های نمره­گذاری صرف نظر از مدل خاص نظریه سوال پاسخ یکسان است.
نمره­دهی به روش بیشینه درست­نمایی
چنانکه از نام آن پیداست، نمره­دهی به روش بیشینه درست­نمایی (ML) یک فرایند جستجو برای یافتن مقدار θ است تا احتمال الگوی پاسخ­دهی آزمودنی را به حداکثر برساند. به بیان دیگری با توجه به الگوی پاسخ صفر (تایید نشده) و یک (تایید شده) آزمودنی به یک مجموعه سوال که اندازه پارامترهای آن­ها معلوم است. برآورد ML از سطح صفت با جمع کردن احتمال (در واحدهای لگاریتمی) هر پاسخ سوال مشاهده شده (u_si) به شرط مقدار θ تعیین می­ شود. سپس بیشینه تابع درست­نمایی (یعنی مد) با بهره گرفتن از روش­های عددی تعیین و این اندازه به عنوان θ منظور می­ شود.
تابع درست­نمایی
یک آزمون ساده سه سوالی را در نظر بگیرید که بر اساس مدل ۲PL در معادله ‏۳‑۴، درجه­بندی شده است.

معادله ‏۳‑۴: تابع درست­نمایی

پارامترهای تشخیص سوال برای سوال­های ۳، ۲، ۱به ترتیب عبارتند از ۰/۲ و ۵/۱، ۰/۱= و دشواری هر یک از سوال­ها نیز به ترتیب عبارتند از ۵/۱ و ۰/۰، ۵/۱- = . با جایگزین کردن اندازه­ های این پارامترها در فرمول مدل ۲PL، سه منحنی ویژگی سوال پاسخ^[۱۷] به دست می ­آید که در شکل ‏۳‑۴ نشان داده شده ­اند. مشاهده می­کنید که IRCها یعنی منحنی ویژگی پاسخ سوال­ها، احتمال پاسخ به سوال را نشان می­ دهند. این را P_i(θ_s) بنامید و چنانچه داشته باشیم Q_i(θ_s)=1- P_i(θ_s)، در این صورت از احتمال پاسخ ندادن به یک سوال به ازای هر مقدار سطح صفت آگاه خواهیم شد.
شکل ‏۳‑۴: منحنی­های سوال پاسخ برای سه سوال نمونه.
طبق تعریف، IRCها برآوردهایی ار فراوانی نسبی در درازمدت^[۱۸]هستند. زمانی که یک فراوانی نسبی در درازمدت پیش از وقوع آن محاسبه می­ شود، آن را احتمال و وقتی که این فراوانی پس از وقوع محاسبه می شود آن را درست­نمایی^[۱۹] می نامند. با توجه به این موضوع، وقتی که الگوی پاسخ به سوال­ها مشاهده شد، می­توان IRCها را برای محاسبه درست نمایی شرطی (برای θ) هر سوال به کار برده شود. به عنوان مثال، اگر یک آزمودنی به سوال۱ پاسخ درست بدهد ()، پس درست­نمایی وقوع آن، مشروط بر θ، برابر خواهد بود با P_i(θ) بر روی منحنی­یی که برای θ در سوال ۱ محاسبه شده است. اگر آزمودنی به سوال ۲ ()، پاسخ درست ندهد، پس درست­نمایی آن پاسخ خاص برابر خواهد بود با ۱-P₂(θ) که در نقطه θ محاسبه شده است و همین­طور الی آخر.
برای یافتن درست­نمایی مربوط به یک الگوی پاسخ­دهی، پژوهشگر فقط باید منحنی­های ویژه سوال پاسخ یا IRCهای مناسب را درهم ضرب کند. مثلاً اگر پاسخ­های یک فرد به ۳ سوال ۱،۱،۰ (تایید شده، تایید شده و تایید نشده) باشد احتمال شرطی آن از روی حاصل­ضرب IRCهای P₁(θ) و P₂(θ) و Q₃(θ) به دست می آیدو نتایج این حاصل­ضرب برای اندازه­ های گوناگون سطح صفت فرضی در شکل ‏۳‑۵ نشان داده شده است. حال برای یافتن حداکثر برآورد درست­نمایی سطح صفت، پژوهشگر به سادگی می ­تواند محل بیشینه شدن تابع درست­نمایی را پیدا کند. با یک نگاه به نظر می­رسد که ۹۰/۰=θ بهترین احتمال است، اما احتمال اندازه­ های اطراف این دامنه نیز تقریبا به همان اندازه است.
­
شکل ‏۳‑۵: تابع درست­نمایی برای آزمون ۳ سوالی.
به طور کلی، درست­نمایی شرطی یک الگوی پاسخ­دهی را می­توان با معادله ‏۳‑۵ بصورت محاسبه حاصل ضرب زنجیره­ای برای تمامی سوال­های اجرا شده، محاسبه کرد.

معادله ‏۳‑۵

در این روش مشکلاتی در برآورد بیشینه درست­نمایی وجود دارد. نخست، تا زمانی که آزمودنی حداقل به یک سوال پاسخ درست یا غلط ندهد هیچ برآوردی از سطح صفت (یعنی بیشینه تابع) به دست نخواهد آمد. الگوی پاسخ درست به همه سوال­ها، به یک تابع درست­نمایی تکنوای افزایشی^[۲۰] که حداکثر آن در جهت مثبت بی­نهایت قرار دارد، منجر می­ شود. همچنین الگوی پاسخ تمام نادرست به یک تابع تکنوای درست نمایی کاهشی که حداکثر آن در جهت منفی بی­نهایت قرار دارد، منتهی می­ شود. مشکل دوم آن است که IRCهایی که شامل اندازه­ های بیت ۰و۱ هستند در معادله ‏۳‑۵ در یکدیگر ضرب می­شوند و در نتیجه درست نمایی­های شرطی به سرعت کوچک می­شوند. در واقع درست­نمایی­ها ممکن است به اندازه­ای کوچک شوند که کامپیوترها دقت خود را از دست بدهند.
برای از میان برداشتن مشکل دوم، محققان اغلب به جای درست­نمایی­های خام با لگاریتم درست­نمایی­ها کار می­ کنند. لگاریتم درست­نمایی­ها با گرفتن لگاریتم طبیعی IRC به دست می ­آید. توجه کنید که لگاریتم اعداد بین ۰ و ۱ منفی است و اعداد منفی بزرگ احتمال­های نسبتا پایین و اعداد منفی کوچک احتمال­های نسبتا بالایی را به دست می­ دهند. معنی ضمنی تبدیل لگاریتم درست­نمایی این است که تابع لگاریتم درست نمایی به جای حاصل­ضرب IRCها از مجموع آنها به دست می ­آید. مقدار θهایی که تابع درست نمایی در معادله ‏۳‑۵ را بیشینه می­ کند، دقیقا با برآورد سطح صفتی که تابع لگاریتم درست­نمایی (LOG-L) معادله‏۳‑۶ را به حداکثر می­رساند برابر خواهد بود.

معادله‏۳‑۶