به راحتی با بهره گرفتن از فرمول دوره­نگار چندکی نوع دو می­توان نشان داد که:

۳-۹

که در آن می ­تواند هر عدد ثابت، به ویژه ، باشد. همانطور که مشاهده می­ شود، در دوره­نگارهای چندکی جواب حداقل مربعات در رابطه (۳-۸) و (۳-۹) با جواب رگرسیون چندکی جایگزین شده است. دوره نگار چندکی نوع دو نیز با جایگزینی تابع هزینه حداقل مربعات با تابع هزینه متناظر در رگرسیون چندکی بدست می ­آید.
مثال ۳-۱
سری زمانی معرفی شده در رابطه (۳-۲) را در نظر بگیرید. فرض کنید یک فرایند خودبازگشتی مرتبه۲ () با میانگین صفر و واریانس۱ باشد، یعنی:

۳-۱۰

که در آن ، ، و و نوفه سفید گوسین است. همچنین، در رابطه (۳-۲) فرض کنید ، و در نظر گرفته شده و نمونه ای ۲۰۰ تایی () از این فرایند را شبیه سازی کنیم. توجه کنید که، در این مثال و سایر مثال­های عددی، پارامتر در رابطه (۳-۳) و (۳-۵) برابر با چندک -ام نمونه ­ای سری زمانی در نظر گرفته خواهد بود.
شکل ۳-۲ توانایی دوره­نگارهای چندکی برای شناسایی دوره پنهان در چندک­ها را نشان می­دهد. در این شکل، دوره­نگارهای چندکی به عنوان تابعی از فرکانس­های (در چرخه­هایی در واحد زمان) برای سری زمانی شبیه­سازی شده رسم شده است. همانطور که در شکل ۳-۲ دیده می­ شود، دوره­نگارهای چندکی با موفقیت دوره­ های پنهان را آشکار می­ کند، به طوری که بزرگترین قله در فرکانس قرار می­گیرد. این در حالی است که دوره­نگارهای عادی و لاپلاسی موفق به انجام چنین کاری نیستند. توضیح نظری این نتیجه را در بخش بعد خواهیم دید.

(الف)
(ب)
(ج)
شکل ۳-۲: دوره­نگارها برای سری­های زمانی که از فرم (۳-۲) گرفته شده است. (الف) سری­های زمانی. (ب) دوره­­نگار لاپلاسی. (ج) دوره­نگار چندکی با ( ).
شکل بعدی، شکل موجود در مقاله اصلی است.
شکل ۳-۲: دوره­نگارهای چندکی برای سری­های زمانی که از فرم (۳-۲) گرفته شده است. (a) سری­های زمانی. (b) دوره­نگار چندکی نوع یک که به وسیله رابطه (۳-۳) و (۳-۴) تعریف شده ­اند. © دوره­نگار چندکی نوع یک که به وسیله رابطه (۳-۴) و (۳-۶) تعریف شده است. (d) دوره­نگار چندک نوع دو که به وسیله رابطه (۳-۳) و (۳-۵) تعریف شده است. (e) دوره­نگار چندک نوع دو که به وسیله رابطه (۳-۶) و (۳-۷) تعریف شده است. توجه کنید که: -، دوره­نگارچندکی با ()؛ —، دوره­نگارلاپلاسی؛ ……، دوره­نگارعادی است.
همانند دوره­نگارهای عادی، دوره­نگار های چندکی را می توان به عنوان نمایش وابستگی­های پیاپی در دامنه فرکانس برای سری­های زمانی بدون دوره­ های پنهان به کار برد.
مثال ۳-۲
سری زمانی معرفی شده در رابطه (۳-۱۰) را در نظر بگیرید. فرض کنید نمونه ­ای ۲۰۰ تایی () با و از این سری زمانی را شبیه سازی کنیم (شکل شماره ۳-۳). طیف توان این فرایند در اطراف دارای چند قله است. همانگونه که در شکل شماره ۳-۳ دیده می­ شود دوره­نگارهای چندکی رفتاری مشابه با دوره­نگارهای عادی دارند، به این معنی که، نه تنها نوسانی تصادفی در فرکانس­های مختلف دارند بلکه در فرکانس­های نزدیک به مقادیر بزرگ­تری را اختیار می­ کنند. تصور اینکه تمامی این دوره­نگارها بعد از هموارسازی به صورت خم­های زنگدیس^[۴۳] خواهند بود دور از انتظار نیست.
(الف)
(ب)
(ج)
شکل ۳-۳: دوره­نگارهایی که از فرم(۳-۱۰) گرفته شده است. (الف) نمودار سری­های زمانی. (ب) دوره­نگار لاپلاسی. (ج) دوره­نگار چندکی با ().
شکل­های بعدی مربوط به شکل مقاله اصلی است.
شکل ۳-۳: دوره­نگارهای چندکی برای سری­های زمانی که از فرم (۳-۱۰) گرفته شده است. (a) سری­های زمانی. (b) دوره­نگار چندکی نوع یک که به وسیله رابطه (۳-۳) و (۳-۴) تعریف شده ­اند. © دوره­نگار چندکی نوع یک که به وسیله رابطه (۳-۴) و (۳-۶) تعریف شده است. (d) دوره­نگار چندک نوع دو که به وسیله رابطه (۳-۳) و (۳-۵) تعریف شده است. (e) دوره­نگار چندک نوع دو که به وسیله رابطه (۳-۶) و (۳-۷) تعریف شده است. توجه کنید که: -، دوره­نگارچندکی با ()؛ —، دوره­نگارلاپلاسی؛ ……، دوره­نگارعادی است. در (b) و (d)، پارامتر چندک ام نمونه ­ای از سری­های زمانی گرفته شده است.
در حالی که دوره­نگارهای چندکی را می­توان در سطح چندک مشخص -ام بررسی کرد، اما مطالعه آنها به عنوان توابع دو متغیره از و می ­تواند دیدگاه بسیار غنی­تری از سری­های زمانی را فراهم آورد.
مثال ۳-۳
سری زمانی مربوط به لکه­های خورشیدی که در فصل ۱ بدان اشاره شد را در نظر بگیرید (شکل شماره
۳-۴a-). همانگونه که در نمودار دوره­نگار این سری زمانی (شکل شماره ۳-۴-b) مشاهده می­ شود، با توجه به اینکه بزرگترین قله طیفی در فرکانس (چرخه در هر سال) دیده می­ شود، تعداد لکه­های خورشیدی چرخه­ای ۱۱ ساله را نشان می­دهد. با این حال، چرخه ۱۱ ساله را نمی­ توان به سادگی و با یک موج سینوسی خالص توضیح داد یرا قله­های نسبتا بزرگی در دو طرف قله اصلی وجود دارند، که نشان­دهنده وجود پدیده­ای پیچید­ تر هستند(Bloomfield (2000) صفحه۷۷). دوره­نگارهای چندکی نشان داده شده در شکل ۳-۴-c و ۳-۴-d، به عنوان توابع دو متغیره از و ، برخی از پیچیدگی­های داده ­ها را آشکار می­ کند. قله های ثانویه که در اطراف قله اصلی، چرخه ۱۱ ساله، قرار دارند در چندک­های بالایی و میانی واضح­تر و در چندک­های پایینی (در صورت وجود) با وضوح کمتری دیده می­شوند. این ویژگی وابسته به چندک در تابع طیف مربوط به لکه­های خورشیدی را نمی­تواند به وسیله دوره­نگارهای عادی مشخص کرد.
(الف)
(ب)
شکل ۳-۴: (الف) اعداد سالانه لکه­های خورشیدی. (ب) دوره­نگار عادی.
شکل بعدی شکل موجود در مقاله است.
شکل ۳-۴: تجزیه و تحلیل فرکانس چندک. (a) اعداد سالانه لکه­های خورشیدی. (b) دوره­نگار عادی. © دوره­نگار چندک نوع یک به عنوان تابع دو متغیره از سطح چندک و فرکانس. (d) دوره­نگار چندک نوع دو به عنوان تابع دو متغیره از سطح چندک و فرکانس. دوره­نگارهای چندکی در فرکانس­های فوریه به وسیله رابطه (۳-۴) و (۳-۷) و استاندارد و به طور خلاصه به وحدت محاسبه شده است.
۳-۳ رفتار مجانبی
همانطور که می­دانیم دوره­نگار عادی هموار شده برآوردی از طیف توان یک سری زمانی است. دوره­نگارهای لاپلاسی نیز دارای ارتباطی مشابه با طیف گذر از صفر هستند. در یک سری زمانی، طیف گذر از صفر را می­توان به عنوان نمایش دامنه فرکانس وابستگی­های پیاپی در نظر گرفت. یک سوال طبیعی این است که دوره­نگارهای چندکی چه ویژگی­هایی از فرآیندهای تصادفی را مشخص می­ کنند. در حالی که جواب به این سوال برای اندازه نمونه متناهی دشوار است، تحلیل مجانبی نمونه­های بزرگ، که در این بخش بدان خواهیم پرداخت، ارتباط دوره­نگارهای چندکی با طیف عبور از سطح^[۴۴] را آشکار می­ کند که مشابه ارتباط دوره­نگارهای لاپلاسی با طیف گذر از صفر است. همچنین، تحلیل مجانبی، تاثیر دوره­ای بودن چندک­ها بر دوره­نگارهای چندکی را نشان خواهد داد. این نتایج در تحلیل شکل­های ۳-۲ و ۳-۳ موثر خواهند بود.
فرض کنید یک فرایند تصادفی است. در این بخش توزیع مجانبی توأم مولفه­های دوره­نگارهای چندکی در فرکانس متفاوت را مورد مطالعه قرار می­دهیم. فرض کنید و توابع توزیع حاشیه­ای یک متغیره و دو متغیره از باشند، که برای مقادیر ثابت و در شرایط زیر صدق کنند: